MATEMÁTICA
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1. Intuições Iniciais
2. Fundamentação Lógica e Etimologias
3. Filosofia matemática
4. Aritmética
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→ A aritmética é o estudo das operações numéricas fundamentais, como adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como de conceitos relacionados. A aritmética lida principalmente com cálculos numéricos diretos e é frequentemente associada à matemática básica utilizada em situações do dia a dia.
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→ A aritmética é o estudo das operações numéricas fundamentais, como adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como de conceitos relacionados. A aritmética lida principalmente com cálculos numéricos diretos e é frequentemente associada à matemática básica utilizada em situações do dia a dia.
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→ A linguagem numérica, ou seja, a capacidade de representar quantidades e realizar operações com números, é uma habilidade que remonta aos primórdios da civilização humana. Os primeiros seres humanos desenvolveram formas rudimentares de contar e representar quantidades. Eles usavam objetos como pedras, ossos ou conchas para contar, registrando quantidades por meio de marcações ou agrupamentos.
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→ A representação de quantidades por meio de caracteres tem sua origem bem antes das letras, com os sistemas numéricos. Cada sistema numérico possui sua notação, que são os símbolos ou caracteres usados para representar números, tal como também seu sistema de progressão (ou seja, sua lógica de continuidade). Ao longo da história, várias notações numéricas (decimais e não decimais) foram desenvolvidas para representar quantidades. No entanto, a notação indo-arábica (de 0 a 9, e por tanto, com base em 10 dígitos) foi a que se tornou mais amplamente adotada no ocidente devido à sua eficiência.
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→ O sistema de progressão usado na notação indo-arábica (decimal, base 10) é um sistema de numeração posicional. Que funciona assim: ao chegar no dígito 9 e adicionar mais 1, o sistema "reinicia" com mais um dígito (zero) adicionado à direita. Isso indica que antes tinhamos zero, e agora temos uma dezena, e zero de unidades. Para criar números maiores, prosseguimos a contagem sempre a partir das unidades, acrescendo o dígito da esquerda sempre que excedido o valor 9. Quando
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→ Em matemática, um conjunto é uma coleção de objetos, elementos ou membros que são agrupados ou considerados como uma única entidade. Os elementos de um conjunto podem ser números, letras, palavras, objetos, ou qualquer coisa que se queira agrupar.
Aqui estão alguns conceitos importantes relacionados a conjuntos:
• Elementos: Os objetos individuais que pertencem a um conjunto são chamados de elementos do conjunto. No exemplo acima, temos apenas um elemento no conjunto: uma maçã.
• Notação de Conjunto: Os conjuntos geralmente são representados por letras maiúsculas, como A, B, C, etc. Os elementos de um conjunto são listados entre chaves {} e separados por vírgulas. Por exemplo: {A}, {B}, {C}, etc.
• Subconjuntos: Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de A também estiverem em B. Por exemplo, {2, 3} é um subconjunto de {1, 2, 3, 4}. No exemplo acima, vamos considerar que B = {frutas}. Logo, como a maçã é uma entre muitas outras frutas, dizemos que "A está contido em B" ou, usando notação de conjunto: "A ⊆ B" (expressão que ler-se da mesma forma. Ou seja: A está contido em B).
• Conjunto Vazio: Um conjunto que não contém nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e é denotado por ∅ ou {}.
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→ O conjunto dos números naturais contém todos os números inteiros positivos. Ou seja, aqueles que começam em 1 e continuam indefinidamente (1, 2, 3, 4, ...). Isto é, contendo todo o infinito positivo. Em notação matemática, os números naturais são representados pelo símbolo ℕ.
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→ O conjunto dos números inteiros são um conjunto de números que inclui todos os números positivos (ou seja, os naturais), todos os números negativos e o zero. Em notação matemática, os números inteiros são representados pelo símbolo ℤ.
O que implica dizer que o conjunto dos números naturais {ℕ} é um subconjunto do conjunto dos números inteiros {ℤ}:
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Expressões Algébricas (1/2)
→ Uma expressão algébrica, tal como o nome sugere, nada mais é que uma expressão linguística da álgebra. Tome como exemplo a expressão algébrica:
"1 + 1" que contém os seguintes elementos:
• Números: Na expressão 1 + 1, os números 1 são elementos básicos da álgebra.
• Operações Matemáticas: O símbolo "+" na expressão representa uma operação matemática, que é a adição.
• Constantes: Os números 1 na expressão são constantes, pois têm seu valor fixo. -
Operadores
Operadores Artiméticos
→ Os operadores aritiméticos são símbolos que representam operações específicas a serem realizadas em números, variáveis ou "letras" em uma expressão algébrica ou equação.
Operadores Lógicos
→ Os operadores lógicos são usados para indicar, combinar ou avaliar expressões lógicas na matemática. Eles permitem apontar ou criar condições e tomar decisões com base em múltiplas condições.
O operador lógico mais comum é o " = " que indica uma igualdade. Tal igualdade pode ser tanto a mesma coisa escrita de forma diferente ou o resultado de uma equação específica.
Escorpo Geral
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Equivalências e Igualdade
Equivalências
→ A linguagem numérica, ou seja, a capacidade de representar quantidades e realizar operações com números, é uma habilidade que remonta aos primórdios da civilização humana. Os primeiros seres humanos desenvolveram formas rudimentares de contar e representar quantidades. Eles usavam objetos como pedras, ossos ou conchas para contar, registrando quantidades por meio de marcações ou agrupamentos.
Notação Numérica
→ A representação de quantidades por meio de caracteres surge bem antes das letras, com os sistemas numéricos. Cada sistema numérico possui sua notação, que são os símbolos ou caracteres usados para representar números, tal como também seu sistema de progressão (ou seja, sua lógica de continuidade). Ao longo da história, várias notações numéricas (decimais e não decimais) foram desenvolvidas para representar quantidades. No entanto, a notação indo-arábica (de 0 a 9) foi a que se tornou mais amplamente adotada no ocidente devido à sua eficiência.
Sistema de Numeração Posicional
→ O sistema de progressão usado na notação indo-arábica (decimal, base 10) é um sistema de numeração posicional. Que funciona assim: ao chegar no dígito 9 e adicionar mais 1, o sistema "reinicia" com mais um dígito (zero) adicionado à direita. Isso indica que antes tinhamos zero, e agora temos uma dezena, e zero de unidades. Para criar números maiores, prosseguimos a contagem sempre a partir das unidades, acrescendo o dígito da esquerda a sempre que excedido o valor 9. Quando
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Notação Matemática
→ A notação matemática (ou "linguagem matemática") serve para expressar de forma precisa e concisa relações e operações matemáticas. A utilização de letras e símbolos em vez de palavras completas torna a linguagem matemática mais eficiente e universal (já que as letras podem indicar qualquer valor, enfatizando o significado da expressão em si), sendo, por tanto, uma sub-disciplina integrada em tudo, indo desde o básico ao avançado.
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Propriedades Fundamentais
Comutatividade
→ A propriedade comutativa é uma propriedade importante da álgebra. Tome como exemplo a comutativa da adição que pode ser representada como:
a + b = b + a
Isso significa que a ordem dos números na adição não afeta o resultado. Essa propriedade está presente também na multiplicação.Associatividade
→ A propriedade associativa é outra propriedade fundamental. Tome como exemplo a associativa da adição, representada como:
(a + b) + c = a + (b + c)
Isso indica que a forma como os números são agrupados em operações de adição não afeta o resultado. Novamente, essa propriedade está presente também na multiplicação. -
Porcentagem e Frações
Frações
→ As frações representam partes de um todo. Elas consistem em um numerador (parte superior) e um denominador (parte inferior).
Porcentagem
→ A porcentagem nada mais é que uma forma de representar uma fração com um denominador fixo de 100. Ela é frequentemente usada para expressar uma parte ou proporção de um número em um todo fracionado em 100 partes iguais.
Nos exemplos acima temos: 50%, 25% e 65% respectivamente. Ou, de outra forma: 50/100, 25/100 e 65/100.
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Ordem das Operações e Agrupadores
Ordem das Operações
→ A correta ordem de resolução das operações matemáticas pode ser memorizada usando o acrônimo "P-E-MD-AS" (isto é, primeiro o que está em parênteses, depois expoentes, depois multiplicação e Divisão, e, por fim, adição e subtração.
Agrupadores
→ Os agrupadores, que incluem parênteses (), colchetes [] e chaves {}, são símbolos usados em expressões matemáticas para indicar uma ordem de resolução específica que deve ser seguida em uma operação.
